SESION N° 2: CONJUNTOS II

SESION Nº 2: CONJUNTOS II

Operaciones con Conjuntos

I.      UNIÓN O REUNIÓN

La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”.

Notación A È B, (A È B)

Simbólicamente se define

 

            A È B = {x/x Î A  v  x Î B}

Posiciones relativas para 2 conjuntos A y B

 

           

                        ® A È B

Observación: Si B Ì A ® A È B = A

Propiedades:

·   A È B = B È A (Conmutativa)

·   A È (B È C) = (A È B) È C (Asociativa)

·   A È A = A (Idempotencia)

·   A È U = U

·   A È f = A (Elemento Neutro)

II.    INTERSECCIÓN

La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos  a la vez.

Notación: A Ç B, (A Ç B)

Simbólicamente se define:

A Ç B = {x/x Î A Ù x Î B}

Observación: Ù equivale y: Intersección

Posiciones relativas para 2 conjuntos “A” y “B”

 

        A Ç B = f

Observación:

*  Si B Ì A ® A Ç B = B

*  Si A y B son conjuntos disjuntos ® A Ç B = f

Propiedades:

·  A Ç B = B Ç A (Conmutativa)

·  A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C (Asociativa)

·  A Ç A = A (Idempotencia)

·  A Ç U = A

·  A Ç f = f (Elemento Neutro)

Propiedades Complementarias

Distributiva

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

Absorción

A È (A Ç B) = A

A Ç (A È B) = A

A È (A´Ç B) = A È B

A Ç (A´È B) = A Ç B

(A È B) Ì C Û A Ì C y B Ì C

 

Si:        A Ì B y C Ì D Þ (A È C) Ì (B È D)

III.   DIFERENCIA

La diferencia de 2 conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”

Notación: A – B

Se lee: “A pero no B” (solo A)

Simbólicamente

A – B {x/x Î A Ù x  Ï B}

Observación:

Si A ¹ B ® A – B ¹ B – A

Si A = B ® A – B = B – A = f

Posiciones Relativas para 2 conjuntos A y B

 

 

                            ® A

Observación:

·                     Si B Ì A ® B – A = f

·                     Si A y B son disjuntos

A – B = A   ;           B – A = B

IV.   DIFERENCIA SIMÉTRICA

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos a “A” o “B” pero no a ambos. Notación: A D B

Simbólicamente se define:

A D B = {x/x Î (A - B) Ú X Î (B - A)}

ó

 

          A D B = {x/x Î A Ú X Î B Ù X Ï A Ç B}

Observación:

Si B Ì A ® A D B = A – B

Si A y B son conjuntos disjuntos

A D B = A È B

Propiedades

·    A D B = (A - B) È (B - A)

·    A D B = (A È B) - (A Ç B)

·    A D A = f

·    A D f = A

V.    COMPLEMENTO

El complemento de A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen  al conjunto universal U pero no a “A”.

Notación: A´,, A^c, C A

Simbólicamente:

A´ = {x/x Î U Ù x ÏA} = U – A

Diagrama

 

Observación:

C  = B – A

Propiedades

 

     1.    (A´)´ = A           Involución

 

     2.    f´ = U

            U´ = f

     3.    A – B = A Ç B´

     4.    A È A´ = U

            A Ç A´ = f

     5.    Leyes de Morgan

 

            (A È B)´ = A´ Ç B´

            (A Ç B)´ = A´ È B´

 6.        Caso particular de la Absorción

 

            A´ È (A Ç B) = A´ È B

            A´ Ç (A È B) = A´ Ç B

Observación

1.     n (f) = 0

2.     n(AÈB) = n(A) + n(B)–n(AÇB)

3.     Si A y B son conjuntos disjuntos n(AÈB) = n(A)+ n(B)

4.     n (A È B È C) = n(A) + n(B)+ n(C)–

n (A Ç B)–n(A Ç C)–n(BÇC) + n(AÇBÇC)

Par Ordenado

Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el ordenamiento de estos elementos llamados también componentes

(a, b)

                        Segunda Componente

            Primera Componente

Propiedad:

Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales.

Es decir:

(a, b) = (c, d) Û a = c Ù b = d

Ejemplo:

Aplicación

                       Si (x + y, 13) = (31, x-y)

Hallar:

              

Resolución

Si (x + y; 13) = (31; x - y)

x + y = 31

x – y = 13

\ x  =

y =

Luego:  Rpta.

Producto Cartesiano

Dados 2 conjuntos A y B no nulos se denomina   producto   cartesiano   de   A  y B

(A x B) en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) tal que

las primeras componentes pertenecen al conjunto a y las segundas componentes al conjunto B.

A x B = {a, b/a Î A Ù b Î B}

Ejemplo:          Dados los conjuntos A y B

                        A = {a, b}

B = {c, d}

Forma Tabular:

B A	c	d			A B	a	b
a	(a, c)	(a, d)			c	(c, a)	(c, b)
b	(b, c)	(b, d)			d	(d, a)	(d, b)

A x B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}

B x A = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}

Observamos que:

1.     A x B ¹ B x A en general

2.     A x B = B A Û A = B

3.     n (A x B) = n (A) x n (B)

      A y B son conjuntos finitos

4.     n [Ax B–B x A]=n [A x B]-n[A x BÇ B x A]

Propiedades

·       A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)

·       A x (B È C) = (A x B) È (A x C)

·       A x (B - C) = (A x B) - (A x C)

·       Si: A Ì B Þ A x C Ì B x C , "C

·       Si: A Ì B y C Ì D

PROBLEMAS RESUELTOS

1.     Dados los conjuntos

            A = {6,{2}, {f}} y

            B = {f, {f}, {{2}}, {{6}}

            Hallar P(A) Ç B

Resolución

Como A = {6,{2}, {{f}}

 

Þ P (A) =         {6}, {{2}}, {{f}}

                        {6,{2}},{6,{f}},{{2},{f}}

                        A, f

Además           B = {f, {f}, {{2}}, {6}}

Luego: P(A) Ç B = {f, {{2}}, {6}} Rpta.

2.     Dado el conjunto A

A = {1,2,{2}, {1,2}}

Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones

I.    {1,{2}} Ì A

II.   {{1,{2}}} Î P (P(A))

III.  {f, {2}} Î P (A)

a) VVV             b) VFV         c) VFF 

d) FVV             e) VVF

Resolución

Analizando cada caso

I.          {1,{2}} Ì A

            Þ 1 Î A Ù {2} Î A = Verdadero

                   V              V

II.         {{1,{2}}} Î P(P(A))

            Þ {{1,{2}}} Ì P(A)

            º          {1, {2}} Î P(A)

            º          {1, {2}} Ì P(A)

            º          {1, {2}} Ì A

            º          1 Î A Ù {2} Î A = Verdadero

                       

   V              V

III.         {f, {2}} Î P(A)

            Þ {f, {2}} Ì A

            º f Î A Ù {2} Î A º Falso   Rpta. E

 

                  F             V

3.     De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de Aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan álgebra ni aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?

            a) 56     b) 54     c) 52   d) 50     e) 48

Resolución

Sea      A: Aritmética

            X: Algebra

n (A´) = 49 ® n (A) = 100 – 49 = 51

n (X´) = 53 ® n (B) = 100 – 53 = 47

Gráficamente

 

             Llevan un solo curso

Por dato:

c + 27 = 49 ® c = 22

a + 27 = 53 ® a = 26

Luego a + c = 48                      Rpta. E

4.     Durante un examen se observó en un aula que 15 alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10 usaban lentes y resolvían el examen.  El número de alumnos que usaban lentes y miraban al techo era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si en el salón había 85 alumnos. ¿Cuántos resolvían su examen? (considere que los que no resolvían su examen miraban al techo)

      a) 20          b) 25    c) 24  d) 30       e) 36

Resolución: Gráficamente:

 

En total:

3a + 25 = 85

3a = 60

a = 20

\ Resuelven el examen 30 Rpta. D

5.     Sea el conjunto

A = {a, {a}, 7, {7}, {18}}

Cuántas proposiciones son verdaderas

·  a Ï A

·  {a} Ì A

·  n(A) = 5

·  {7, {7}}ÌA

a) 1      b) 2            c) 3           d) 4     e) 5

6.     Dado el conjunto

A = {x Î ZZ  ⁺ / 7x < 43}

Indique lo correcto

a) Î A    b) 4ÎA      c) 8ÏA    d) 7ÎA    e) 6ÎA

7.       Si:   U = {x/x Î N, 0 < x < 15}

A = {x² + x + 2/ x Î N; 2 £ x < 6}

B = {2^x + x / x Î N; 1 £ x < 5}

Hallar el cardinal de (A È B)’

a) 4               b) 5        c) 6         d) 9        e) 8

8.       Con la siguiente información:

U = {x/x Î Z, -4 < x £ 5}

A Ç B = {2, 3}

(A È B)’ = {-3, 1}

A’ = {-1, 0, 1, -3}

Hallar cuantos subconjuntos tiene: A D B

a) 8               b) 4        c) 16      d) 2        e) 32

9.       Dados los conjuntos A y B se conocen:

n(A) – n(B) = 2

n(A - B) = n(A’)

n[P(A’)] = 128

n[U] = 20

Hallar n[P(B - A)]

a) 16            b) 8        c) 32  d) 4            e) N.A.

10.   Si:   U = {x/x Î N, 1 < x < 12}

A = {x/x Î N, x² = 3x + 10}

B = {x/x Î N, (x + 5)(x - 4)(x - 2) = 0}

Hallar:  n(A È B)’

a) 5               b) 6        c) 7  d) 8               e) 4

9.        Señalar verdadero o falso:

I.       Æ = 0                           (         )

II.      2 Î {3, 4, 2}               (         )

III.    {5, 6} Ì {3, 4}            (         )

IV.    {1, 3} Î {1, 3, 2}       (         )

V.     {2} Î {{2}, 3}             (         )

10.    Dado el conjunto:

A = {x Î Z / -5 £ x £ -2}

Hallar la suma de los elementos.

a) 13            b) 15      c) 23      d) 42      e) N.A.

11.    Si:B = {2x -1 / x Î N Ù 1 < x < 7}

entonces no es cierto que:

a) 1 Î B        b) 5 Î B             c) 7 Î B

d) 9 Î B                      e) N.A.

12.   En un avión viajan 120 personas de las cuales:

           i.          La tercera parte de ellas beben.

         ii.          La quinta parte de ellas fuman.

        iii.          18 personas fuman y beben.

¿Cuántas personas no fuman ni beben?

a) 74                            b) 62                     c) 83

d) 48                            e) 31

13.   Una academia deportiva tiene 80 miembros de las cuales 30 no practican ni atletismo ni bulbito, 20 practican atletismo y 6 practican bulbito y atletismo. ¿Cuántos practican solo uno de estos deportes?

a) 30                            b) 38                     c) 20

d) 44                            e) 25

14.   Noventa alumnos de 5to año asisten a la clase de computación, 70 a entrenamientos de diferentes deportes y 5 no se interesan ni en computación ni en deportes. Si 30 asisten tanto a deportes como a computación. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año?

a) 130                          b) 175                   c) 135

d) 165                         e) 160

15.   De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

a) 25                            b) 30                     c) 35

d) 0                        e) 5