SESION Nº 2: CONJUNTOS II
Operaciones con Conjuntos
I. UNIÓN O REUNIÓN
La unión de dos
conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los
elementos de “A” con todos los elementos de “B”.
Notación A È
B, (A È B)
Simbólicamente se define
 |
A È
B = {x/x Î
A v
x Î B}
Posiciones relativas para 2 conjuntos A y B
®
A È B
Observación: Si B Ì
A ® A È
B = A
Propiedades:
· A È
B = B È A
(Conmutativa)
· A È
(B È C) = (A È
B) È C (Asociativa)
· A È
A = A (Idempotencia)
· A È
U = U
· A È
f = A (Elemento Neutro)
II. INTERSECCIÓN
La intersección de 2
conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los
dos conjuntos a la vez.
Notación: A Ç
B, (A Ç B)
Simbólicamente se
define:
A Ç
B = {x/x Î
A Ù x Î
B}
Observación: Ù
equivale y: Intersección
Posiciones relativas
para 2 conjuntos “A” y “B”
 |
|||
 |
|||
A Ç
B = f
Observación:
* Si B Ì A ®
A Ç B = B
* Si A y B son conjuntos disjuntos ®
A Ç B = f
Propiedades:
· A Ç
B = B Ç A
(Conmutativa)
· A Ç
(B Ç C) = (A Ç
B) Ç C (Asociativa)
· A Ç
A = A (Idempotencia)
· A Ç
U = A
· A Ç
f = f
(Elemento Neutro)
Propiedades
Complementarias
Distributiva
A È
(B Ç C) = (A È
B) Ç (A È
C)
A Ç
(B È C) = (A Ç
B) È (A Ç
C)
Absorción
A È
(A Ç B) = A
A Ç
(A È B) = A
A È
(A´Ç
B) = A È B
A Ç
(A´È
B) = A Ç B
(A È
B) Ì C Û
A Ì C y B Ì
C |
Si: A
Ì B y C Ì
D Þ (A È
C) Ì (B È
D)
III. DIFERENCIA
La diferencia de 2
conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a “A” pero no a “B”
Notación: A – B
Se lee: “A pero no B”
(solo A)
Simbólicamente
A – B {x/x
Î A Ù
x Ï B}
Observación:
Si A ¹
B ® A – B ¹
B – A
Si A = B ®
A – B = B – A = f
Posiciones Relativas para 2 conjuntos A y B
 |
 |
® A
Observación:
·
Si B Ì A ®
B – A = f
·
Si A y B son disjuntos
A – B = A ; B – A = B
IV. DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia
simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos a “A”
o “B” pero no a ambos. Notación: A D B
Simbólicamente se
define:
A D
B = {x/x Î
(A - B) Ú X Î
(B - A)}
ó
 |
A D B = {x/x Î A Ú X Î B Ù X Ï A Ç B}
Observación:
Si B Ì A ® A D
B = A – B
Si A y B son conjuntos disjuntos
A D
B = A È B
Propiedades
·
A D B = (A - B) È (B - A)
· A D B = (A È B) - (A Ç B)
· A D A = f
· A D f = A
V. COMPLEMENTO
El complemento de A
es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no a “A”.
Notación: A´,
, Ac, C A
, Ac, C A
Simbólicamente:
A´ = {x/x Î
U Ù x ÏA}
= U – A
Diagrama
 |
Observación:
C 
= B – A
= B – A
Propiedades
 |
1. (A´)´ = A Involución
 |
2. f´
= U
U´ = f
3. A – B = A Ç
B´
4. A È
A´ = U
A
Ç A´
= f
5. Leyes de Morgan
 |
(A
È B)´ = A´ Ç B´
(A
Ç B)´ = A´ È
B´
6. Caso
particular de la Absorción
 |
A´
È (A Ç
B) = A´ È B
A´
Ç (A È
B) = A´ Ç B
Observación
1.
n (f) = 0
2.
n(AÈB) = n(A) + n(B)–n(AÇB)
3.
Si A y B son conjuntos
disjuntos n(AÈB)
= n(A)+ n(B)
4.
n (A È B È C) = n(A) + n(B)+
n(C)–
n
(A Ç
B)–n(A Ç
C)–n(BÇC)
+ n(AÇBÇC)
Par
Ordenado
Es
un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual
interesa el ordenamiento de estos elementos llamados también componentes
(a, b)
Segunda Componente
Primera Componente
Propiedad:
Dos
pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales.
Es decir:
(a,
b) = (c, d) Û
a = c Ù
b = d
Ejemplo:
Aplicación
Si (x + y, 13) = (31,
x-y)
Hallar:
Resolución
Si (x + y; 13) = (31;
x - y)
x + y = 31
x – y = 13
\ x = 
y = 
Luego: 
Rpta.
Rpta.
Producto Cartesiano
Dados
2 conjuntos A y B no nulos se denomina
producto cartesiano de A y B
(A x
B) en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) tal
que
las primeras componentes
pertenecen al conjunto a y las segundas componentes al conjunto B.
A
x B = {a,
b/a Î
A Ù
b Î
B}
Ejemplo: Dados los conjuntos A y B
A = {a, b}
B = {c, d}
Forma Tabular:
|
B
A
|
c
|
d
|
|
|
A
B
|
a
|
b
|
|
a
|
(a, c)
|
(a, d)
|
|
|
c
|
(c, a)
|
(c, b)
|
|
b
|
(b, c)
|
(b, d)
|
|
|
d
|
(d, a)
|
(d, b)
|
A x B = {(a, c), (a, d),
(b, c), (b, d)}
B x A = {(c, a), (c, b),
(d, a), (d, b)}
Observamos
que:
1. A
x B ¹
B x A en general
2. A x B = B A Û A = B
3. n (A x B) = n (A) x n (B)
A y B son conjuntos finitos
4. n [Ax B–B x A]=n [A x B]-n[A x BÇ B x A]
Propiedades
·
A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
·
A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
·
A x (B - C) = (A x B)
- (A x C)
· Si:
A Ì
B Þ
A x C Ì
B x C , "C
· Si:
A Ì
B y C Ì
D
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Dados los conjuntos
A = {6,{2}, {f}}
y
B = {f, {f}, {{2}}, {{6}}
Hallar P(A) Ç
B
Resolución
Como
A = {6,{2}, {{f}}
 |
Þ P (A) = {6},
{{2}}, {{f}}
{6,{2}},{6,{f}},{{2},{f}}
A, f
Además B = {f, {f}, {{2}}, {6}}
Luego:
P(A) Ç
B = {f, {{2}},
{6}} Rpta.
2.
Dado el conjunto A
A
= {1,2,{2}, {1,2}}
Indicar
el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
I. {1,{2}} Ì A
II. {{1,{2}}} Î P (P(A))
III. {f, {2}} Î P (A)
a) VVV b)
VFV c) VFF
d)
FVV e)
VVF
Resolución
Analizando
cada caso
I. {1,{2}} Ì A
Þ
1 Î
A Ù
{2} Î A = Verdadero
V V
II. {{1,{2}}} Î P(P(A))
Þ {{1,{2}}} Ì P(A)
º {1, {2}} Î
P(A)
º {1, {2}} Ì
P(A)
º {1, {2}}
Ì
A
º 1
Î
A Ù
{2} Î A = Verdadero
V V
III. {f,
{2}} Î P(A)
Þ {f, {2}} Ì A
º f Î A Ù {2} Î A º Falso Rpta. E
F V
3.
De un grupo de 100 alumnos,
49 no llevan el curso de Aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan
álgebra ni aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?
a) 56 b) 54
c) 52 d) 50 e) 48
Resolución
Sea A: Aritmética
X: Algebra
n (A´)
= 49 ®
n (A) = 100 – 49 = 51
n (X´)
= 53 ®
n (B) = 100 – 53 = 47
Gráficamente
 |
Llevan un solo curso
Por
dato:
c +
27 = 49 ®
c = 22
a +
27 = 53 ®
a = 26
Luego
a + c = 48 Rpta. E
4.
Durante un examen se observó
en un aula que 15 alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10 usaban lentes
y resolvían el examen. El número de
alumnos que usaban lentes y miraban al techo era el doble de los que resolvían
el examen y no usaban lentes. Si en el salón había 85 alumnos. ¿Cuántos
resolvían su examen? (considere que los que no resolvían su examen miraban al
techo)
a) 20 b)
25 c)
24 d) 30
e) 36
Resolución:
Gráficamente:
 |
En total:
3a + 25 = 85
3a = 60
a = 20
\
Resuelven el examen 30 Rpta. D
5.
Sea el conjunto
A = {a, {a}, 7, {7}, {18}}
Cuántas proposiciones son verdaderas
· a Ï A
· {a} Ì A
· n(A) = 5
· {7, {7}}ÌA
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6.
Dado el conjunto
A = {x Î ZZ + / 7x < 43}
Indique lo correcto
a) Î A b) 4ÎA c) 8ÏA d) 7ÎA e) 6ÎA
7.
Si: U = {x/x Î N, 0 < x < 15}
A = {x2 + x + 2/ x Î N; 2 £ x < 6}
B = {2x + x / x Î N; 1 £ x < 5}
Hallar el cardinal de (A È B)’
a) 4 b)
5 c) 6 d) 9 e) 8
8.
Con la siguiente información:
U = {x/x Î Z, -4 < x £ 5}
A Ç B = {2, 3}
(A È B)’ = {-3, 1}
A’ = {-1, 0, 1, -3}
Hallar cuantos
subconjuntos tiene: A D B
a) 8 b) 4 c) 16 d) 2 e) 32
9.
Dados los conjuntos A y B se conocen:
n(A) – n(B) = 2
n(A - B) = n(A’)
n[P(A’)] = 128
n[U] = 20
Hallar n[P(B - A)]
a) 16 b) 8 c)
32 d) 4 e)
N.A.
10.
Si: U = {x/x Î N, 1 < x < 12}
A = {x/x Î N, x2 = 3x + 10}
B = {x/x Î N, (x + 5)(x - 4)(x - 2) = 0}
Hallar: n(A È B)’
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
9.
Señalar verdadero o falso:
I. Æ = 0 ( )
II. 2 Î {3, 4, 2} ( )
III. {5, 6}
Ì {3, 4} ( )
IV. {1, 3} Î {1, 3, 2} ( )
V. {2} Î {{2}, 3} ( )
10.
Dado el conjunto:
A = {x Î Z / -5 £ x £ -2}
Hallar la suma de
los elementos.
a) 13 b) 15 c) 23 d) 42 e) N.A.
11.
Si:B = {2x -1 / x Î N Ù 1 < x < 7}
entonces no es
cierto que:
a) 1 Î B b)
5 Î B c) 7 Î B
d) 9 Î B e) N.A.
12.
En un avión viajan 120 personas de las cuales:
i.
La tercera parte de ellas beben.
ii.
La quinta parte de ellas fuman.
iii.
18 personas fuman y beben.
¿Cuántas personas no
fuman ni beben?
a) 74 b) 62 c) 83
d) 48 e) 31
13.
Una academia deportiva tiene 80 miembros de las
cuales 30 no practican ni atletismo ni bulbito, 20 practican atletismo y 6
practican bulbito y atletismo. ¿Cuántos practican solo uno de estos deportes?
a) 30 b) 38 c) 20
d) 44 e) 25
14.
Noventa alumnos de 5to año asisten a la clase de
computación, 70 a entrenamientos de diferentes deportes y 5 no se interesan ni
en computación ni en deportes. Si 30 asisten tanto a deportes como a
computación. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año?
a) 130 b) 175 c) 135
d) 165 e) 160
15.
De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se
inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se
inscribieron en ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántos se inscribieron en
ambas disciplinas?
a) 25 b) 30 c) 35
d) 0 e) 5
