SESION N° 1: TEORIA DE CONJUNTOS I - CURSO ARITMETICA

SESION N° 1: CONJUNTOS I

NOCIÓN DE CONJUNTO

Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva  y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados.

Ejemplos:

·        Los días de la semana

·        Los países del continente americano.

·        Los jugadores de un equipo de fútbol.

Notación

Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas  por comas y encerrados con llaves.

Ejm:    A = {los días de la semana}

            B = {a, e, i, o, u}

Relación de Pertenencia (Î)

Se establece esta relación sólo de “integrante” a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado.

“....pertenece a .....” : Î

“... no pertenece a ..”: Ï

Esto quiere decir que dado un “integrante u elemento” y un conjunto

           

Integrante       Π       conjunto

            u elemento        Ï

Ejemplo:

C = {1,2, {1,2}, 5, 16}

·     2 Î C

·     8 Ï C

·     {1,2} Î C

·     {5} Ï C

 

Incorrecto

Determinación de un Conjunto

Consiste en precisar correctamente que “elementos” forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas:

a)    Por Extensión o forma tabular.

Cuando se indica generalmente  a todos y cada uno de los integrantes

Ejm:    A = {a, e, i, o, u}

            C = {2,4,6,8}

Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él.

De este modo en el conjunto

A = {a, e, i, o, u} = {a, o, u, i, e}

No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación.

b)    Por Comprensión o forma constructiva

Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Correspondencia y/o característica (propiedad común) o forma general del elemento

B =      {n/n es una vocal}

C =      {n²-1 / n Î ZZ ,1 £ n £ 7}

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión (U):

La unión de 2 o más conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupación de todos los elementos de los conjuntos que intervienen.

A U B = {x/x Î A Ú x Î B}

 

           

Ejm:    A = {2, 3,5}, B = {1, 7,5}

 

                        \ A U B = {2, 3, 5, 1,7}

            Si: A Ì B ® A U B = B

Intersección (Ç)

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B” a la vez.

          A Ç B = {x/x Î A Ù x Î B}

 

Ejm.:   A = {2, 3, 4, 5,6}

            B = {4, 6, 7,9}

            \ A Ç B = {4,6}

Si A Ì B ® A Ç B = A

Si A y B son disjuntos, A Ç B = f

Diferencia (-)

El conjunto diferencia (A-B) es aquel que está formado únicamente por los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.

 

A – B = {x/x Î A Ù x Ï B}

 

Ejm:

A = {2, 4, 5, 6, 7, 8}

B = {1, 3, 6, 7, 9}

\ A – B = {2,4,5,8}

   B – A = {1, 3, 9}

Si A Ì B ® A D B = B – A

Si A y B disjuntos, A D B = A U B

Diferencia Simétrica (D)

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A  o B pero no a ambos.

 

A D B = {x/x Î (A U B) Ù x Ï (A ÇB)}

Ejm:    A = {8, 7, 6, 5, 4,2}

            B = {9, 7, 6, 3,1}

\ A D B = {2, 4, 5, 8, 1, 3,9}

Si A Ì B ® A D B = B – A

Si A y B disjuntos, A D B = A U B

Complemento de A (CA, A^c,  ,  A´)

El complemento de A es el conjunto formado  por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no al conjunto A.

 

  A^c = A´ = {x/x Î U Ù x Ï A} = U –A

Ejm.

            U = {x/x Î IN, x < 8}

            A = {1, 3,4}

            \A^c = {0, 2, 5, 6,7}

Conjunto Producto o Producto Cartesiano (X)

Dados dos conjuntos A y B se define el conjunto producto como:

 

A x B = {(a, b)/a Î A Ù b Î B}

Leyes del Algebra de Conjuntos

1.         Idempotencia

A U A = A

A Ç A = A

2.         Conmutativa

            A U B = B U A

            A Ç B = B Ç A

3.         Asociativa

(A U B) UC = A U (B U C)

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

4.         Distributiva

A U (B Ç C) = (A U B) Ç (A U C)

A Ç (B U C) = (A Ç B) U (A Ç C)

5.         De Morgán

(A U B)´ = A´ Ç B´  

(A Ç B)´ = A´ U B´

6.         Del Complemento

            A U A´ = U

A Ç A´ = f

(A´)´ = A

7.         De la Unidad

A È U = U      A Ç U = A

A È f = A       A Ç f = f

8.         De Absorción

A U (A Ç B) = A

A Ç (A U B) = A

A U (A´ Ç B) = A U B

A Ç (A´ U B) = A Ç B

9.         Diferencia

A – B = A Ç B´

10.       Adicional

(U)´ = f

(f)´ = U

PROBLEMAS

1.   Dados los conjuntos unitarios

      A = {90, a. b}

      B = {a+ b, 23}

      Hallar la diferencia entre a y b

 2.  Hallar el cardinal de A si 

      A = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,.... 55}

3.   Dado el conjunto

A = {5,3 {3}, 7, {9,11}, 14}

¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

I. 5 Î A                 IV. {3} Ì A

II. {{3}} Ì A         V. {9,11} Ì A

III. 7,14 Î A          VI. f Ì A

4.   Si A = B

Calcular a^b

A = {3a-8, 44}

B = {10, b^a - 20}

5.   ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M?

      M = {x/x Î ZZ  ; -7 < 4 x + 1 < 21}

6.   Indicar el cardinal del conjunto

     

7.    Hallar el cardinal del conjunto A

A = {0, 7, 26,...,1330}

a) 18                      b) 16               c) 14 

d) 11                      e) 13

8.    El n (A) es 8. Hallar a + b + c

           A = {5, 20, 45,....., }

 a) 12                     b) 14                c) 16 

 d) 5                       e) 7

9.    Si A es Singleton, B y C conjuntos iguales calcular m + n + p

      Si:       A = {2p, m}

                 B = {n+1, 2m-3}

                C = {n+5, 2p-1}

a) 12                    b) 13                c) 14 

d) 15                     e) 16

10.  ¿Cuántos elementos tiene A sabiendo que:

A = {/(3n+1) Î ZZ      ⁺,  n < 2}

a) 6                       b) 5                c) 3 

d) 2                      e) 1

11.  Hallar el cardinal del conjunto A

A = {x Î ZZ ⁺ / x > 4 ® x = 6}

a) 3                      b) 4                 c) 5 

d) 6                      e) 2

12.  Dos conjuntos A y B son tales que:

  n (A U B) = 30,  n (A - B) = 12,

        n (B - A) = 10

      Hallar n(A) + n (B)

            a) 22               b) 38               c) 36 

d) 25                    e) 37

13.  Si n (P(A)) = 128, n (P(B)) = 16

n [P(A Ç B)] = 8

Hallar n [P (A U B)]

a) 128                 b) 32                c) 256 

d) 1024                e) 512

14.  Se tienen los siguientes conjuntos

            A={+ 1/ (-1) Î Z⁺, x < 10}

B=ZZ / 2 < n < 13

Entonces se puede afirmar:

a)  A y B son equipotentes

b)  A y B son conjuntos disjuntos

c)  A y B son iguales

d)  n (P(A)) = 16

e)  A y B son comparables

15.  Sean A y B subconjuntos del universo además

(A - B) U (B - A) = A U B

Indicar las proposiciones falsas

I.       A = A – B

II.      B = B – A

III.     (A Ç B)´ É A U B

IV.    B Ì A´

V.     A Ç B ¹ f

a) I, II, III                     b) V    

c) IV y V                     d) III y V

e) I, II, V

16.  Si A, B y C son subconjuntos de U tales que

* n(A Ç B) = 2n (C - B) = 4n (A Ç B Ç C)

* n (B - A) = 60, A Ç C = C

* n [(A Ç C)´- B] = n (B) = 100

       Hallar n (C´)

a) 80                    b) 900              c) 100

d) 60                    e) 190

NIVEL II

17.  En una encuesta recogida a 200 transeúntes se determinó lo siguiente:

60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos, de estos últimos, 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?

a) 30                    b) 35               c) 40

d) 45                    e) 60

18.  Dados los conjuntos A, B, C y D contenidos en un universo U se tiene:

n [P (B - A)] = 1

n [C Ç D] = 0

·         n [P(C-A)]=n [B-(C U D)]=2 n (D - B) = 8

·         n [(A - B) Ç C] = 8

·         n [B Ç (C U D)] = 2

·        

     Calcular n (U)

a) 30                    b) 33               c) 35

d) 36                    e) 40

19.  Si A = {3,2, {2}, {2,3}, 4, f}

Dar su valor de las proposiciones

(V - F)

I.              {2,3} Î A

II.            {4} Ì A

III.           f Ì A

IV.          {3,4} Î A

V.            7 Ë A

a) VFVVV                        b) VVVFF

c) FFVFV            d) VVVFV

e) FVVVV

20.  En un avión viajan 120 personas de las cuales

·   de ellos no beben

·     Los  de ellos no fuman

·     72 personas no fuman ni beben

¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben?

a) 80               b) 82               c) 88

d) 86               e) 84

21.  Hallar el nº de subconjuntos binarios del conjunto A

A = {(x²-1) Î ZZ     /0 < x £ 3, x Î ZZ      }

a) 1                 b) 2                 c) 3     

d) 4                 e) 5

22.  De un total de 53 alumnos de una academia de música se sabe que:

       11 varones tocan flauta

       15 varones tocan piano

       13 mujeres no tocan flauta

       17 mujeres no tocan piano

       13 alumnos (entre hombres y mujeres k

23.  Se hizo una encuesta a 150 alumnos  sobre la preferencia de los cursos:

      Aritmética (A), Algebra (X), Física (F) y Química (Q). Obteniéndose los siguientes datos: 

·         Ningunos que prefieren F

   Simpatiza con Q

·         20 solo con A

·         20 solo con X

·         20 solo con F

·         20 solo A y Q pero no con X

·         6 solo con F y X

·         4 solo con A y F

·         24 solo con Q y X

·         28 solo Q

      Cuantas prefieren A y X si a todos por los   menos les gusta un curso 

a)5                       b)8                   c)6      

d) 11                    e)7